Matemàtiques o metafísica?

“La cosa més bella que podem experimentar és el misteri. Aquesta és la font de la ciència i de tot art vertader”.

                                                                                          
                                                                                                       Gottfried Leibniz

Arc i pati d'un antic convent (1924). Tina Modotti.

La natura ens parla a través de moltes veus. Quan s’expressa matemàticament  o quan podem descriure bona part dels fenomens que hi tenen lloc amb llenguatge algebraic, l’anomenada funció exponencial ens apareix no poques vegades. També la seva inversa (més ben dit, la recíproca), coneguda com a funció logarítmica. Tot seguit exposarem la relació existent entre elles, en el cas que les considerem com a funcions d'una sola variable independent x, d'expressió general y = f(x), on y és la variable dependent (subordinada, doncs, als valors que adquireix la x). Així, en el cas particular esmentat, la relació entre les dues funcions és clara i precisa:        

                     
                   y= a^x     ⇔       log_a y= x  




Aquesta darrera expressió es llegeix: “logaritme en base a de y”, on a és un nombre real i diferent de 1, i y є R⁺ (és a dir, y és un nombre real positiu). Si en la primera podem conèixer la y per a cada valor de la x, que és l'exponent al qual s'ha d'elevar a perquè ens doni precisament la y, en la segona s'esdevé justament al revés: si coneixem la y, podem saber, aplicant-hi el logaritme, quina x li correspon. Per exemple: y= 10^x   ⇔ log₁₀ y=x (o simplement log y=x; el logaritme en base 10 s'anomena logaritme decimal). Suposem que x=3, aleshores y= 10³ = 10.10.10 = 1000.  O el que és el mateix: log 1000 = 3.
Podem dir, amb unes altres paraules, que l’exponencial és com la notació abreviada de la multiplicació repetida. El logaritme és a l’exponencial allò que la divisió és a la multiplicació: un mitjà matemàtic per a desfer-la. La possibilitat d'observar la realitat des d'un altre punt de vista, totalment oposat (mai més ben dit).

La funció exponencial pot adoptar infinites formes, per exemple: 3^x, 1+ 2^x, 10^x+2 + 5,... Però potser la més coneguda és la que rep el nom d'exponencial natural, en què la base a és el nombre e=2,7182818284..., probablement el nombre irracional (aquell número que no es pot expressar en forma de fracció, amb infinites xifres decimals no periòdiques) més famós juntament amb el nombre π.

Aquesta funció s’escriu, doncs, y= e^x i, en les seves diverses formes, té una gran aplicació en moltes àrees de les ciències experimentals i socials. La seva recíproca és y= ln x (anomenat logaritme neperià; la base és precisament e). Ambdues són representades en el gràfic anterior). 
Per cert, el nombre e ve definit o, més ben dit, el podem calcular a partir del següent límit:

                                    

L'hem donat a partir de dues expressions, però el resultat és el mateix. En la de l'esquerra, observem que si substituïm la x per valors cada vegada més i més petits, aproximant-nos cada cop més a zero, els diversos valors obtinguts s'apropen o tendeixen a e. En l'expressió de la dreta, aquest s'obté, contràriament, substituint la x per valors cada vegada més grans, apuntant a l'infinit. 

A la pràctica podem utilitzar la funció exponencial en base e per a descriure el comportament de diverses poblacions d’éssers vius (per exemple la població de bacteris d’un cultiu, una colònia de pingüins, el creixement o la disminució dels arbres d'un bosc...).

També els processos de radioactivitat tenen una dependència exponencial amb el temps. El 1900, el físic Ernest Rutherford va descobrir que el ritme amb el qual un element emetia substàncies radioactives no era constant sinó que disminuïa exponencialment amb el temps. Tan el número de nuclis com la velocitat de desintegració disminueixen en el temps en una forma del tipus e^─λt , on λ és la constant de desintegració. S’utilitza també freqüentment l’anomenat període de semidesintegració. El definim com el temps que triga una mostra a reduir-se a la meitat. Es pot calcular com t_1/2= ln 2/λ. 
La desintegració de qualsevol nucli és un procés a l’atzar (pot variar des de microsegons fins a 10¹⁶ s). Quan es donen aquestes darreres magnituds ja els podem considerar, tanmateix, estables. 

Les funcions, doncs, tenen una importància cabdal en física, biologia, enginyeria, economia... L’estudi de les relacions funcionals entre dues o més magnituds constitueix el nucli per entendre els processos matemàtics a la natura i en determinats afers humans ( en els negocis, per exemple). Poden aquestes funcions descriure el comportament de les persones? Bé, no és així, lògicament. Però fora interessant fer-ne algun comentari. Recordo que vaig llegir fa un temps un autor que, amb una certa ironia, exposava la idea segons la qual si hom busca parella, seria interessant que sabés el grau d'estoïcisme i d'epicureisme que posseeix la persona en qüestió. També seria curiós esbrinar si hom té més afinitat amb una funció exponencial o amb una logarítmica, o millor dit, en quina proporció domina l’una respecte l’altra. Els comportaments, lògicament, podrien ser infinits, com infinites i complexes són les funcions, però tot i així... Les matemàtiques poden construir i modelar robots o descriure o preveure actituds d'una comunitat humana, però l'estudi d'una individualitat concreta, amb tots els sentiments, això ja és una altra cosa.
En tot cas, allò humà s'aproximaria més a alguna de les funcions trigonomètriques (sinx o cosx), les quals representades en un gràfic, en els eixos cartesians, tenen forma d’ona, amb una periodicitat ben definida, com podem veure a la imatge. Això sí, limitades per dalt i per baix, per 1 i -1. Tothom ha tingut o té alts i baixos, oi? Doncs això...  

Com hi influeix, però, l’atzar? Potser, com en la física quàntica o en la física nuclear, hauríem de parlar de probabilitats... Aleshores ja no és tan clar com ens semblava i ens poden sortir funcions cada cop més estranyes i inversemblants, moltes sense poder ser definides.
La idea de funció fou introduïda per Nicolau d’Oresme en el segle XIV. Galileu, Descartes, Newton i Leibniz, entre d'altres, la van perfeccionar i ha esdevingut, com s'ha vist, en una eina potent utilitzada en múltiples disciplines.

Què passa quan dues funcions es troben en uns mateixos eixos de coordenades? Poden entrar en contacte o no. Posem un altre exemple. Observem dues funcions logarítmiques molt senzilles,  y= lnx i y= ln(1/x). Com podem saber si tenen algun punt d'intersecció? Bé, doncs igualar-les i aïllant, tot seguit, la x. En aquest cas resulta molt senzill: 

                             lnx = ln( 1/x)   ➝  x = 1/x  ➝  x²    =  1     ➝   x = 1 

És l'única solució possible, ja que l'altra, x= ─1, no l'és, ja que un logaritme d'un nombre negatiu no existeix en els nombres reals. Substituint ara la x resultant en qualsevol de les dues funcions, obtenim y = 0. Per tant l'únic punt de tall és el (1,0), tal com queda reflectit a la gràfica. A partir d'aquí, com es veu, ja no es tornaran a trobar mai més. Ja ho diu la dita popular: hi ha trens que només passen un cop a la vida.

Arribats a aquest punt, tenint en compte el petit esbós efectuat, d'una manera un pèl caòtica potser, podem parlar de les matemàtiques, o si més no d'una part important d'aquesta (la física també hi podria entrar en aquesta discussió), com d’una filosofia i, fins i tot, d'una metafísica ben particular? De fet, lord Kelvin parlava de les ciències matemàtiques com de l’única bona metafísica. No deixa de ser agosarat, tanmateix.

D'allò indubtable, em sembla, és que les matemàtiques poden ser emparentades perfectament amb l'art i la poesia. Un altre matemàtic important Karl Weierstrass ho havia dit en aquests termes:  “Un matemàtic que no tingui també alguna cosa de poeta mai serà un matemàtic complet”. Per altra banda no podem deixar d'admirar-nos d'un fet: tot i la seva aparent complexitat, habitualment les matemàtiques s'expressen amb simplicitat i elegància, no exempta de bellesa. És més, ella i les altres ciències, aporten bellesa a la realitat. No només això, lògicament. També hi ha una clara voluntat de servei envers la humanitat i una cura per l'entorn, pel planeta en el seu conjunt. Sense això, sense aquesta vessant humana (i humanística) no les podríem qualificar com a ciències en un sentit profund. Per a Leibniz "les matemàtiques ennobleixen l’esperit humà”. 

Continuant amb les funcions exponencials, analitzem-ne una de les més importants, l'anomenada funció de Gauss: y=   , la gràfica de la qual és com s'indica a continuació (tot i una petita inexactitud que convé corregir: la funció s'apropa cada vegada més a l'eix d'abscisses, a esquerra i a dreta, però sense arribar a tocar-lo mai).

 

Si volem calcular l'àrea determinada per la funció i l'eix d'abscisses utilitzem un potent artefacte matemàtic: la famosa integral. S'obté un resultat interessant:    . És l'anomenada  integral de Gauss. 

Justament una de les fórmules més belles de les matemàtiques i on també hi apareixen els dos nombres irracionals abans esmentats ens la va donar Leonard Euler: . Relaciona d’una forma ben simple alguns dels nombres més importants: els nombres e i π, la unitat, 1, i el no-res, el zero. També hi trobem l’anomenat nombre imaginari (no real) i, o que és el mateix √¯-1, i els símbols matemàtics essencials de la suma i la igualtat. Mai en tan poc s’havia donat tant. 

Dunes (1934). Edward Weston.

Abans que l’home aparegués sobre la Terra, aquesta relació ja dormia en les profunditats de la natura. D'alguna manera, les matemàtiques ja hi eren, l’home només les va desvetllar d'un son profund. Són independents de l'home, a diferència, per exemple, de la literatura o la música, que sí que són creacions humanes pures (tot i que algú podria dir també que la natura emet música, d'alguna manera).
No és extraordinari, això? Tot i que és cert, les matemàtiques no només són números. Necessiten també les paraules per expressar-se en tota la seva plenitud.
No serà, doncs, la metafísica allò que dorm en la realitat i que només l'home, com a ésser conscient, pot despertar? És el que anomenem misteri, en definitiva? Allò que la realitat ens convida (o no) a descobrir, oferint una resistència ferotge, sovint. Tot plegat ens està costant segles i segles de treball i de paciència. I tot i això, sempre quedaran coses ocultes. Heràclit ja ens ho havia dit: "A la natura li agrada amagar-se".




Nota: 
Les gràfiques exposades en el text no són pròpies. Han estat recollides d'altres webs. Voldria agrair, doncs, el treball efectuat pels seus autors.